解決{r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

解 u、v

$$u=25$$

$$v=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 u: 將 u 單獨置於等號的左邊。

$$u-30v=-65$$

將 30v 加到方程式的兩邊。

$$u=30v-65$$

在另一個方程式 -3u+80v=165 中以 30v-65 代入 u在方程式。

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

-3 乘上 30v-65。

$$-90v+195+80v=165$$

將 -90v 加到 80v。

$$-10v+195=165$$

從方程式兩邊減去 195。

$$-10v=-30$$

將兩邊同時除以 -10。

$$v=3$$

在 u=30v-65 中以 3 代入 v。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$u=30\times 3-65$$

30 乘上 3。

$$u=90-65$$

將 -65 加到 90。

$$u=25$$

現已成功解出系統。

$$u=25,v=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 u 和 v。

$$u=25,v=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

讓 u 和 -3u 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

化簡。

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3u+90v=195 減去 -3u+80v=165。

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

將 -3u 加到 3u。 -3u 和 3u 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$90v-80v=195-165$$

將 90v 加到 -80v。

$$10v=195-165$$

將 195 加到 -165。

$$10v=30$$

將兩邊同時除以 10。

$$v=3$$

在 -3u+80v=165 中以 3 代入 v。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$-3u+80\times 3=165$$

80 乘上 3。

$$-3u+240=165$$

從方程式兩邊減去 240。

$$-3u=-75$$

將兩邊同時除以 -3。

$$u=25$$

現已成功解出系統。

$$u=25,v=3$$