解決{r}{6x-5y=14}{-3x+5y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x - 5 y = 14 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-5y=14$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$6x=5y+14$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+14\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 5y+14。

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}$$

在另一個方程式 -3x+5y=-2 中以 \frac{5y}{6}+\frac{7}{3} 代入 x在方程式。

$$-3\left(\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}\right)+5y=-2$$

-3 乘上 \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}。

$$-\frac{5}{2}y-7+5y=-2$$

將 -\frac{5y}{2} 加到 5y。

$$\frac{5}{2}y-7=-2$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$\frac{5}{2}y=5$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{6}\times 2+\frac{7}{3}$$

\frac{5}{6} 乘上 2。

$$x=\frac{5+7}{3}$$

將 \frac{7}{3} 與 \frac{5}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

讓 6x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$-3\times 6x-3\left(-5\right)y=-3\times 14,6\left(-3\right)x+6\times 5y=6\left(-2\right)$$

化簡。

$$-18x+15y=-42,-18x+30y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -18x+15y=-42 減去 -18x+30y=-12。

$$-18x+18x+15y-30y=-42+12$$

將 -18x 加到 18x。 -18x 和 18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y-30y=-42+12$$

將 15y 加到 -30y。

$$-15y=-42+12$$

將 -42 加到 12。

$$-15y=-30$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=2$$

在 -3x+5y=-2 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+5\times 2=-2$$

5 乘上 2。

$$-3x+10=-2$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-3x=-12$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=2$$