解決{r}{5p-q=7}{-2p+3q=5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

解 p、q

$$p=2$$

$$q=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 p: 將 p 單獨置於等號的左邊。

$$5p-q=7$$

將 q 加到方程式的兩邊。

$$5p=q+7$$

將兩邊同時除以 5。

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 q+7。

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

在另一個方程式 -2p+3q=5 中以 \frac{7+q}{5} 代入 p在方程式。

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

-2 乘上 \frac{7+q}{5}。

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

將 -\frac{2q}{5} 加到 3q。

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

將 \frac{14}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$q=3$$

在 p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} 中以 3 代入 q。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

\frac{1}{5} 乘上 3。

$$p=\frac{3+7}{5}$$

將 \frac{7}{5} 與 \frac{3}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$p=2$$

現已成功解出系統。

$$p=2,q=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 p 和 q。

$$p=2,q=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

讓 5p 和 -2p 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

化簡。

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10p+2q=-14 減去 -10p+15q=25。

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

將 -10p 加到 10p。 -10p 和 10p 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2q-15q=-14-25$$

將 2q 加到 -15q。

$$-13q=-14-25$$

將 -14 加到 -25。

$$-13q=-39$$

將兩邊同時除以 -13。

$$q=3$$

在 -2p+3q=5 中以 3 代入 q。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$-2p+3\times 3=5$$

3 乘上 3。

$$-2p+9=5$$

從方程式兩邊減去 9。

$$-2p=-4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$p=2$$

現已成功解出系統。

$$p=2,q=3$$