解決{r}{4x-2y=6}{-2x+2y=8} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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4x-2y=6,-2x+2y=8

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

4x-2y=6

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

4x=2y+6

將 2y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)

將兩邊同時除以 4。

x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}

\frac{1}{4} 乘上 6+2y。

-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=8

在另一個方程式 -2x+2y=8 中以 \frac{3+y}{2} 代入 x在方程式。

-y-3+2y=8

-2 乘上 \frac{3+y}{2}。

y-3=8

將 -y 加到 2y。

y=11

將 3 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{2}\times 11+\frac{3}{2}

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 11 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{11+3}{2}

\frac{1}{2} 乘上 11。

x=7

將 \frac{3}{2} 與 \frac{11}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=7,y=11

現已成功解出系統。

4x-2y=6,-2x+2y=8

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6+8\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)

計算。

x=7,y=11

解出矩陣元素 x 和 y。

4x-2y=6,-2x+2y=8

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4\times 8

讓 4x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

-8x+4y=-12,-8x+8y=32