解決{r}{3x-4y=-1}{x-6y=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { r } { 3 x - 4 y = - 1 } \\ { x - 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-4y=-1$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$3x=4y-1$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-1\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 4y-1。

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 x-6y=-5 中以 \frac{4y-1}{3} 代入 x在方程式。

$$\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}-6y=-5$$

將 \frac{4y}{3} 加到 -6y。

$$-\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=-5$$

將 \frac{1}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{14}{3}y=-\frac{14}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{14}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4-1}{3}$$

將 -\frac{1}{3} 與 \frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)-\frac{2}{7}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-1\right)-\frac{3}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x-4y=-1,3x+3\left(-6\right)y=3\left(-5\right)$$

化簡。

$$3x-4y=-1,3x-18y=-15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-4y=-1 減去 3x-18y=-15。

$$3x-3x-4y+18y=-1+15$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y+18y=-1+15$$

將 -4y 加到 18y。

$$14y=-1+15$$

將 -1 加到 15。

$$14y=14$$

將兩邊同時除以 14。

$$y=1$$

在 x-6y=-5 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-6=-5$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$