\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.
解 x、y
x=1
y=1
圖表
共享
已復制到剪貼板
3x-2y+12y=13
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。
3x+10y=13
合併 -2y 和 12y 以取得 10y。
2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2,6 的最小公倍數。
4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13
將 2 乘上 2 得到 4。
-8y+4x-3\times 3x=-13
計算 4 乘上 -2y+x 時使用乘法分配律。
-8y+4x-9x=-13
將 -3 乘上 3 得到 -9。
-8y-5x=-13
合併 4x 和 -9x 以取得 -5x。
3x+10y=13,-5x-8y=-13
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+10y=13
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=-10y+13
從方程式兩邊減去 10y。
x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}
\frac{1}{3} 乘上 -10y+13。
-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13
在另一個方程式 -5x-8y=-13 中以 \frac{-10y+13}{3} 代入 x在方程式。
\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13
-5 乘上 \frac{-10y+13}{3}。
\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13
將 \frac{50y}{3} 加到 -8y。
\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}
將 \frac{65}{3} 加到方程式的兩邊。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 \frac{26}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{-10+13}{3}
在 x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=1
將 \frac{13}{3} 與 -\frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=1
現已成功解出系統。
3x-2y+12y=13
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。
3x+10y=13
合併 -2y 和 12y 以取得 10y。
2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2,6 的最小公倍數。
4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13
將 2 乘上 2 得到 4。
-8y+4x-3\times 3x=-13
計算 4 乘上 -2y+x 時使用乘法分配律。
-8y+4x-9x=-13
將 -3 乘上 3 得到 -9。
-8y-5x=-13
合併 4x 和 -9x 以取得 -5x。
3x+10y=13,-5x-8y=-13
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
3x-2y+12y=13
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。
3x+10y=13
合併 -2y 和 12y 以取得 10y。
2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2,6 的最小公倍數。
4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13
將 2 乘上 2 得到 4。
-8y+4x-3\times 3x=-13
計算 4 乘上 -2y+x 時使用乘法分配律。
-8y+4x-9x=-13
將 -3 乘上 3 得到 -9。
-8y-5x=-13
合併 4x 和 -9x 以取得 -5x。
3x+10y=13,-5x-8y=-13
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)
讓 3x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
-15x-50y=-65,-15x-24y=-39
化簡。
-15x+15x-50y+24y=-65+39
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -15x-50y=-65 減去 -15x-24y=-39。
-50y+24y=-65+39
將 -15x 加到 15x。 -15x 和 15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-26y=-65+39
將 -50y 加到 24y。
-26y=-26
將 -65 加到 39。
y=1
將兩邊同時除以 -26。
-5x-8=-13
在 -5x-8y=-13 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-5x=-5
將 8 加到方程式的兩邊。
x=1
將兩邊同時除以 -5。
x=1,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}