\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=1
圖表
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3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3,6 的最小公倍數。
6x-3+2\left(y-3\right)=11
計算 3 乘上 2x-1 時使用乘法分配律。
6x-3+2y-6=11
計算 2 乘上 y-3 時使用乘法分配律。
6x-9+2y=11
從 -3 減去 6 會得到 -9。
6x+2y=11+9
新增 9 至兩側。
6x+2y=20
將 11 與 9 相加可以得到 20。
-2\times 2x+y-1=-12
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,10 的最小公倍數。
-4x+y-1=-12
將 -2 乘上 2 得到 -4。
-4x+y=-12+1
新增 1 至兩側。
-4x+y=-11
將 -12 與 1 相加可以得到 -11。
6x+2y=20,-4x+y=-11
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
6x+2y=20
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
6x=-2y+20
從方程式兩邊減去 2y。
x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)
將兩邊同時除以 6。
x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}
\frac{1}{6} 乘上 -2y+20。
-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11
在另一個方程式 -4x+y=-11 中以 \frac{-y+10}{3} 代入 x在方程式。
\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11
-4 乘上 \frac{-y+10}{3}。
\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11
將 \frac{4y}{3} 加到 y。
\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}
將 \frac{40}{3} 加到方程式的兩邊。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{-1+10}{3}
在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=3
將 \frac{10}{3} 與 -\frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=1
現已成功解出系統。
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3,6 的最小公倍數。
6x-3+2\left(y-3\right)=11
計算 3 乘上 2x-1 時使用乘法分配律。
6x-3+2y-6=11
計算 2 乘上 y-3 時使用乘法分配律。
6x-9+2y=11
從 -3 減去 6 會得到 -9。
6x+2y=11+9
新增 9 至兩側。
6x+2y=20
將 11 與 9 相加可以得到 20。
-2\times 2x+y-1=-12
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,10 的最小公倍數。
-4x+y-1=-12
將 -2 乘上 2 得到 -4。
-4x+y=-12+1
新增 1 至兩側。
-4x+y=-11
將 -12 與 1 相加可以得到 -11。
6x+2y=20,-4x+y=-11
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3,6 的最小公倍數。
6x-3+2\left(y-3\right)=11
計算 3 乘上 2x-1 時使用乘法分配律。
6x-3+2y-6=11
計算 2 乘上 y-3 時使用乘法分配律。
6x-9+2y=11
從 -3 減去 6 會得到 -9。
6x+2y=11+9
新增 9 至兩側。
6x+2y=20
將 11 與 9 相加可以得到 20。
-2\times 2x+y-1=-12
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,10 的最小公倍數。
-4x+y-1=-12
將 -2 乘上 2 得到 -4。
-4x+y=-12+1
新增 1 至兩側。
-4x+y=-11
將 -12 與 1 相加可以得到 -11。
6x+2y=20,-4x+y=-11
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)
讓 6x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。
-24x-8y=-80,-24x+6y=-66
化簡。
-24x+24x-8y-6y=-80+66
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -24x-8y=-80 減去 -24x+6y=-66。
-8y-6y=-80+66
將 -24x 加到 24x。 -24x 和 24x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-14y=-80+66
將 -8y 加到 -6y。
-14y=-14
將 -80 加到 66。
y=1
將兩邊同時除以 -14。
-4x+1=-11
在 -4x+y=-11 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-4x=-12
從方程式兩邊減去 1。
x=3
將兩邊同時除以 -4。
x=3,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}