解決{l}{y=x-18}{y=15x} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = 15 x } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$y = -\frac{135}{7} = -19\frac{2}{7} \approx -19.285714286$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-18$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 15x。

$$y-15x=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-x=-18,y-15x=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-x=-18$$

將 x 加到方程式的兩邊。

$$y=x-18$$

在另一個方程式 y-15x=0 中以 x-18 代入 y在方程式。

$$x-18-15x=0$$

將 x 加到 -15x。

$$-14x-18=0$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$-14x=18$$

將兩邊同時除以 -14。

$$x=-\frac{9}{7}$$

在 y=x-18 中以 -\frac{9}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{9}{7}-18$$

將 -18 加到 -\frac{9}{7}。

$$y=-\frac{135}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-18$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 15x。

$$y-15x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-x=-18,y-15x=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-15-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-15-\left(-1\right)}&\frac{1}{-15-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}&-\frac{1}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}\left(-18\right)\\\frac{1}{14}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{7}\\-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-18$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 15x。

$$y-15x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-x=-18,y-15x=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-x=-18 減去 y-15x=0。

$$y-y-x+15x=-18$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-x+15x=-18$$

將 -x 加到 15x。

$$14x=-18$$

將兩邊同時除以 14。

$$x=-\frac{9}{7}$$

在 y-15x=0 中以 -\frac{9}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y-15\left(-\frac{9}{7}\right)=0$$

-15 乘上 -\frac{9}{7}。

$$y+\frac{135}{7}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{135}{7}。

$$y=-\frac{135}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$