\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + 2 } \\ { y = 2 x + k } \end{array} \right.
解 x、y (復數求解)
\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.
解 x、y
\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.
圖表
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y-kx=2
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 kx。
y-2x=k
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
y+\left(-k\right)x=2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
y=kx+2
將 kx 加到方程式的兩邊。
kx+2-2x=k
在另一個方程式 y-2x=k 中以 kx+2 代入 y在方程式。
\left(k-2\right)x+2=k
將 kx 加到 -2x。
\left(k-2\right)x=k-2
從方程式兩邊減去 2。
x=1
將兩邊同時除以 k-2。
y=k+2
在 y=kx+2 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=k+2,x=1
現已成功解出系統。
y-kx=2
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 kx。
y-2x=k
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)
計算。
y=k+2,x=1
解出矩陣元素 y 和 x。
y-kx=2
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 kx。
y-2x=k
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+\left(-k\right)x=2 減去 y-2x=k。
\left(-k\right)x+2x=2-k
將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\left(2-k\right)x=2-k
將 -kx 加到 2x。
x=1
將兩邊同時除以 -k+2。
y-2=k
在 y-2x=k 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=k+2
將 2 加到方程式的兩邊。
y=k+2,x=1
現已成功解出系統。
y-kx=2
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 kx。
y-2x=k
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
y+\left(-k\right)x=2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
y=kx+2
將 kx 加到方程式的兩邊。
kx+2-2x=k
在另一個方程式 y-2x=k 中以 kx+2 代入 y在方程式。
\left(k-2\right)x+2=k
將 kx 加到 -2x。
\left(k-2\right)x=k-2
從方程式兩邊減去 2。
x=1
將兩邊同時除以 k-2。
y=k+2
在 y=kx+2 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=k+2,x=1
現已成功解出系統。
y-kx=2
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 kx。
y-2x=k
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)
計算。
y=k+2,x=1
解出矩陣元素 y 和 x。
y-kx=2
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 kx。
y-2x=k
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+\left(-k\right)x=2 減去 y-2x=k。
\left(-k\right)x+2x=2-k
將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\left(2-k\right)x=2-k
將 -kx 加到 2x。
x=1
將兩邊同時除以 -k+2。
y-2=k
在 y-2x=k 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=k+2
將 2 加到方程式的兩邊。
y=k+2,x=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}