解決{l}{y=k(x+1)}{x^2/2+y^2=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k ( x + 1 ) } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

使用代換和二次方程式公式的步驟

考慮第一個方程式。 計算 k 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$y=kx+k$$

在另一個方程式 x^{2}+2y^{2}=2 中以 kx+k 代入 y在方程式。

$$x^{2}+2\left(kx+k\right)^{2}=2$$

對 kx+k 平方。

$$x^{2}+2\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=2$$

2 乘上 k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}。

$$x^{2}+2k^{2}x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

將 x^{2} 加到 2k^{2}x^{2}。

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

從方程式兩邊減去 2。

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}-2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1+2k^{2} 代入 a，將 2\times 2kk 代入 b，以及將 2k^{2}-2 代入 c。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{\left(4k^{2}\right)^{2}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

對 2\times 2kk 平方。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4 乘上 1+2k^{2}。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+\left(-8k^{2}-4\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4-8k^{2} 乘上 2k^{2}-2。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+8+8k^{2}-16k^{4}}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

將 16k^{4} 加到 -16k^{4}+8k^{2}+8。

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{8k^{2}+8}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

取 8k^{2}+8 的平方根。

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

2 乘上 1+2k^{2}。

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}。 將 -4k^{2} 加到 2\sqrt{2k^{2}+2}。

$$x=\frac{-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2} 除以 2+4k^{2}。

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}。 從 -4k^{2} 減去 2\sqrt{2k^{2}+2}。

$$x=\frac{-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2} 除以 2+4k^{2}。

$$x=-\frac{2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

x 有兩種答案: \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} 和 -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}}。在方程式 y=kx+k 中以 \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} 代入 x 以解出滿足這兩個方程式的 y 結果。

$$y=k\times \frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}+k$$

k 乘上 \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}}。

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k$$

現在在方程式 y=kx+k 中以 -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}} 代入 x 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 y 解。

$$y=k\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)+k$$

k 乘上 -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}}。

$$y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k,x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k,x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{; }x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=\frac{1-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+1}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$