解決{l}{y=4x+5}{4x-3y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$y-4x=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-4x=5$$

將 4x 加到方程式的兩邊。

$$y=4x+5$$

在另一個方程式 -3y+4x=3 中以 4x+5 代入 y在方程式。

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

-3 乘上 4x+5。

$$-12x-15+4x=3$$

將 -12x 加到 4x。

$$-8x-15=3$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$-8x=18$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{9}{4}$$

在 y=4x+5 中以 -\frac{9}{4} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

4 乘上 -\frac{9}{4}。

$$y=-9+5$$

將 5 加到 -9。

$$y=-4$$

現已成功解出系統。

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$y-4x=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$y-4x=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

讓 y 和 -3y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

化簡。

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3y+12x=-15 減去 -3y+4x=3。

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

將 -3y 加到 3y。 -3y 和 3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12x-4x=-15-3$$

將 12x 加到 -4x。

$$8x=-15-3$$

將 -15 加到 -3。

$$8x=-18$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=-\frac{9}{4}$$

在 -3y+4x=3 中以 -\frac{9}{4} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

4 乘上 -\frac{9}{4}。

$$-3y-9=3$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$-3y=12$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-4$$

現已成功解出系統。

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$