解決{l}{y=2x+1}{5y-7x=11} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { 5 y - 7 x = 11 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=2$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-2x=1$$

將 2x 加到方程式的兩邊。

$$y=2x+1$$

在另一個方程式 5y-7x=11 中以 2x+1 代入 y在方程式。

$$5\left(2x+1\right)-7x=11$$

5 乘上 2x+1。

$$10x+5-7x=11$$

將 10x 加到 -7x。

$$3x+5=11$$

從方程式兩邊減去 5。

$$3x=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=2$$

在 y=2x+1 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=2\times 2+1$$

2 乘上 2。

$$y=4+1$$

將 1 加到 4。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-7-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-7-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-7-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\times 11\\-\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=5,x=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

讓 y 和 5y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5y+5\left(-2\right)x=5,5y-7x=11$$

化簡。

$$5y-10x=5,5y-7x=11$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5y-10x=5 減去 5y-7x=11。

$$5y-5y-10x+7x=5-11$$

將 5y 加到 -5y。 5y 和 -5y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10x+7x=5-11$$

將 -10x 加到 7x。

$$-3x=5-11$$

將 5 加到 -11。

$$-3x=-6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=2$$

在 5y-7x=11 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$5y-7\times 2=11$$

-7 乘上 2。

$$5y-14=11$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$5y=25$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=2$$