解決{l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 透過找出與消去 2，對分式 \frac{4}{6} 約分至最低項。

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

在另一個方程式 5y+8x=-45 中以 -\frac{2x}{3}-5 代入 y在方程式。

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

5 乘上 -\frac{2x}{3}-5。

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

將 -\frac{10x}{3} 加到 8x。

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

將 25 加到方程式的兩邊。

$$\frac{14}{3}x=-20$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{14}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-\frac{30}{7}$$

在 y=-\frac{2}{3}x-5 中以 -\frac{30}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

-\frac{2}{3} 乘上 -\frac{30}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{20}{7}-5$$

將 -5 加到 \frac{20}{7}。

$$y=-\frac{15}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 透過找出與消去 2，對分式 \frac{4}{6} 約分至最低項。

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

新增 \frac{2}{3}x 至兩側。

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 透過找出與消去 2，對分式 \frac{4}{6} 約分至最低項。

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

新增 \frac{2}{3}x 至兩側。

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

讓 y 和 5y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

化簡。

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5y+\frac{10}{3}x=-25 減去 5y+8x=-45。

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

將 5y 加到 -5y。 5y 和 -5y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

將 \frac{10x}{3} 加到 -8x。

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

將 -25 加到 45。

$$-\frac{14}{3}x=20$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{14}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-\frac{30}{7}$$

在 5y+8x=-45 中以 -\frac{30}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

8 乘上 -\frac{30}{7}。

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

將 \frac{240}{7} 加到方程式的兩邊。

$$5y=-\frac{75}{7}$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-\frac{15}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$