解決{l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

解 y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 分數 \frac{-4}{5} 可以消去負號改寫為 -\frac{4}{5}。

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

在另一個方程式 3y+8x=-45 中以 -\frac{4x}{5}-9 代入 y在方程式。

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

3 乘上 -\frac{4x}{5}-9。

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

將 -\frac{12x}{5} 加到 8x。

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

將 27 加到方程式的兩邊。

$$\frac{28}{5}x=-18$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{28}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-\frac{45}{14}$$

在 y=-\frac{4}{5}x-9 中以 -\frac{45}{14} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

-\frac{4}{5} 乘上 -\frac{45}{14} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{18}{7}-9$$

將 -9 加到 \frac{18}{7}。

$$y=-\frac{45}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 分數 \frac{-4}{5} 可以消去負號改寫為 -\frac{4}{5}。

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

新增 \frac{4}{5}x 至兩側。

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

考慮第二個方程式。 新增 \frac{8x}{3} 至兩側。

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3y+8x=-45$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 分數 \frac{-4}{5} 可以消去負號改寫為 -\frac{4}{5}。

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

新增 \frac{4}{5}x 至兩側。

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

考慮第二個方程式。 新增 \frac{8x}{3} 至兩側。

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3y+8x=-45$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

讓 y 和 3y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

化簡。

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3y+\frac{12}{5}x=-27 減去 3y+8x=-45。

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

將 \frac{12x}{5} 加到 -8x。

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

將 -27 加到 45。

$$-\frac{28}{5}x=18$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{28}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-\frac{45}{14}$$

在 3y+8x=-45 中以 -\frac{45}{14} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

8 乘上 -\frac{45}{14}。

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

將 \frac{180}{7} 加到方程式的兩邊。

$$3y=-\frac{135}{7}$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-\frac{45}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$