解決{l}{x-y=2x}{2x+y=16} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=16$$

$$y=-16$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$x-y-2x=0$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x-y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x-y=0,2x+y=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x-y=0$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$-x=y$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-y$$

在另一個方程式 2x+y=16 中以 -y 代入 x在方程式。

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

2 乘上 -y。

$$-2y+y=16$$

將 -2y 加到 y。

$$-y=16$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-16$$

在 x=-y 中以 -16 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-16\right)$$

-1 乘上 -16。

$$x=16$$

現已成功解出系統。

$$x=16,y=-16$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$x-y-2x=0$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x-y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x-y=0,2x+y=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=16,y=-16$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$x-y-2x=0$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x-y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x-y=0,2x+y=16$$

讓 -x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

化簡。

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-2y=0 減去 -2x-y=-16。

$$-2x+2x-2y+y=16$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y+y=16$$

將 -2y 加到 y。

$$-y=16$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-16$$

在 2x+y=16 中以 -16 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-16=16$$

將 16 加到方程式的兩邊。

$$2x=32$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=16$$

現已成功解出系統。

$$x=16,y=-16$$