\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 a } \\ { 2 x + 3 y = 5 - a } \end{array} \right.
解 x、y
x=a+1
y=1-a
圖表
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x-y=2a,2x+3y=5-a
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x-y=2a
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=y+2a
將 y 加到方程式的兩邊。
2\left(y+2a\right)+3y=5-a
在另一個方程式 2x+3y=5-a 中以 y+2a 代入 x在方程式。
2y+4a+3y=5-a
2 乘上 y+2a。
5y+4a=5-a
將 2y 加到 3y。
5y=5-5a
從方程式兩邊減去 4a。
y=1-a
將兩邊同時除以 5。
x=1-a+2a
在 x=y+2a 中以 1-a 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=a+1
將 2a 加到 1-a。
x=a+1,y=1-a
現已成功解出系統。
x-y=2a,2x+3y=5-a
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\\-\frac{2}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+1\\1-a\end{matrix}\right)
計算。
x=a+1,y=1-a
解出矩陣元素 x 和 y。
x-y=2a,2x+3y=5-a
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2x+2\left(-1\right)y=2\times 2a,2x+3y=5-a
讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
2x-2y=4a,2x+3y=5-a
化簡。
2x-2x-2y-3y=4a+a-5
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-2y=4a 減去 2x+3y=5-a。
-2y-3y=4a+a-5
將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-5y=4a+a-5
將 -2y 加到 -3y。
-5y=5a-5
將 4a 加到 -5+a。
y=1-a
將兩邊同時除以 -5。
2x+3\left(1-a\right)=5-a
在 2x+3y=5-a 中以 1-a 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x+3-3a=5-a
3 乘上 1-a。
2x=2a+2
從方程式兩邊減去 3-3a。
x=a+1
將兩邊同時除以 2。
x=a+1,y=1-a
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}