解決{l}{x-y=2}{4x=7y+5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 4 x = 7 y + 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7y。

$$4x-7y=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=2,4x-7y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+2$$

在另一個方程式 4x-7y=5 中以 y+2 代入 x在方程式。

$$4\left(y+2\right)-7y=5$$

4 乘上 y+2。

$$4y+8-7y=5$$

將 4y 加到 -7y。

$$-3y+8=5$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-3y=-3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=1$$

在 x=y+2 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=1+2$$

將 2 加到 1。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7y。

$$4x-7y=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=2,4x-7y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-7-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-7-\left(-4\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\\\frac{4}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7y。

$$4x-7y=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=2,4x-7y=5$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 2,4x-7y=5$$

化簡。

$$4x-4y=8,4x-7y=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-4y=8 減去 4x-7y=5。

$$4x-4x-4y+7y=8-5$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y+7y=8-5$$

將 -4y 加到 7y。

$$3y=8-5$$

將 8 加到 -5。

$$3y=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=1$$

在 4x-7y=5 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-7=5$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$4x=12$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$