解決{l}{x-y=2}{2x=3(y-1)} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x = 3 ( y - 1 ) } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$2x=3y-3$$

從兩邊減去 3y。

$$2x-3y=-3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+2$$

在另一個方程式 2x-3y=-3 中以 y+2 代入 x在方程式。

$$2\left(y+2\right)-3y=-3$$

2 乘上 y+2。

$$2y+4-3y=-3$$

將 2y 加到 -3y。

$$-y+4=-3$$

從方程式兩邊減去 4。

$$-y=-7$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=7$$

在 x=y+2 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=7+2$$

將 2 加到 7。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=7$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$2x=3y-3$$

從兩邊減去 3y。

$$2x-3y=-3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 2-\left(-3\right)\\2\times 2-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=7$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$2x=3y-3$$

從兩邊減去 3y。

$$2x-3y=-3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x-3y=-3$$

化簡。

$$2x-2y=4,2x-3y=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-2y=4 減去 2x-3y=-3。

$$2x-2x-2y+3y=4+3$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y+3y=4+3$$

將 -2y 加到 3y。

$$y=4+3$$

將 4 加到 3。

$$y=7$$

在 2x-3y=-3 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-3\times 7=-3$$

-3 乘上 7。

$$2x-21=-3$$

將 21 加到方程式的兩邊。

$$2x=18$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=7$$