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解 x, y
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x-y=12,x+y=44
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x-y=12
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=y+12
將 y 加到方程式的兩邊。
y+12+y=44
在另一個方程式 x+y=44 中以 y+12 代入 x在方程式。
2y+12=44
將 y 加到 y。
2y=32
從方程式兩邊減去 12。
y=16
將兩邊同時除以 2。
x=16+12
在 x=y+12 中以 16 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=28
將 12 加到 16。
x=28,y=16
現已成功解出系統。
x-y=12,x+y=44
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 44\\-\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 44\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\16\end{matrix}\right)
計算。
x=28,y=16
解出矩陣元素 x 和 y。
x-y=12,x+y=44
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
x-x-y-y=12-44
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 x-y=12 減去 x+y=44。
-y-y=12-44
將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-2y=12-44
將 -y 加到 -y。
-2y=-32
將 12 加到 -44。
y=16
將兩邊同時除以 -2。
x+16=44
在 x+y=44 中以 16 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=28
從方程式兩邊減去 16。
x=28,y=16
現已成功解出系統。