解決{l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=10$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+10$$

在另一個方程式 2x+2y+\frac{1}{2}=200 中以 y+10 代入 x在方程式。

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

2 乘上 y+10。

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

將 2y 加到 2y。

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

將 20 加到 \frac{1}{2}。

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

從方程式兩邊減去 \frac{41}{2}。

$$4y=\frac{359}{2}$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=\frac{359}{8}$$

在 x=y+10 中以 \frac{359}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{359}{8}+10$$

將 10 加到 \frac{359}{8}。

$$x=\frac{439}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

化簡。

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-2y=20 減去 2x+2y+\frac{1}{2}=200。

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

將 -2y 加到 -2y。

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

將 20 加到 -200。

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=\frac{359}{8}$$

在 2x+2y+\frac{1}{2}=200 中以 \frac{359}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

2 乘上 \frac{359}{8}。

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

將 \frac{359}{4} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

從方程式兩邊減去 \frac{361}{4}。

$$2x=\frac{439}{4}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{439}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$