解決{l}{x-y=-5}{3x+2y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 5 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=-5$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y-5$$

在另一個方程式 3x+2y=10 中以 y-5 代入 x在方程式。

$$3\left(y-5\right)+2y=10$$

3 乘上 y-5。

$$3y-15+2y=10$$

將 3y 加到 2y。

$$5y-15=10$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$5y=25$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=5$$

在 x=y-5 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=5-5$$

將 -5 加到 5。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-5\right),3x+2y=10$$

化簡。

$$3x-3y=-15,3x+2y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-3y=-15 減去 3x+2y=10。

$$3x-3x-3y-2y=-15-10$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-2y=-15-10$$

將 -3y 加到 -2y。

$$-5y=-15-10$$

將 -15 加到 -10。

$$-5y=-25$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=5$$

在 3x+2y=10 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times 5=10$$

2 乘上 5。

$$3x+10=10$$

從方程式兩邊減去 10。

$$3x=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=5$$