解決{l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

使用代換和二次方程式公式的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y^{2}。

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

新增 6 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

對 x-y=\frac{1}{4} 解出 x，方法為將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=\frac{1}{4}$$

從方程式兩邊減去 -y。

$$x=y+\frac{1}{4}$$

在另一個方程式 -y^{2}+3x^{2}=6 中以 y+\frac{1}{4} 代入 x在方程式。

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

對 y+\frac{1}{4} 平方。

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

3 乘上 y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}。

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

將 -y^{2} 加到 3y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

從方程式兩邊減去 6。

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1+3\times 1^{2} 代入 a，將 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 代入 b，以及將 -\frac{93}{16} 代入 c。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

對 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 平方。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 -1+3\times 1^{2}。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -\frac{93}{16}。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

將 \frac{9}{4} 與 \frac{93}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

取 \frac{195}{4} 的平方根。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

2 乘上 -1+3\times 1^{2}。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}。 將 -\frac{3}{2} 加到 \frac{\sqrt{195}}{2}。

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3+\sqrt{195}}{2} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}。 從 -\frac{3}{2} 減去 \frac{\sqrt{195}}{2}。

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3-\sqrt{195}}{2} 除以 4。

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

y 有兩種答案: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} 和 \frac{-3-\sqrt{195}}{8}。在方程式 x=y+\frac{1}{4} 中以 \frac{-3+\sqrt{195}}{8} 代入 y 以解出滿足這兩個方程式的 x 結果。

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

現在在方程式 x=y+\frac{1}{4} 中以 \frac{-3-\sqrt{195}}{8} 代入 y 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 x 解。

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$