解決{l}{x-7y=6}{5x+3y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-7y=6$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$x=7y+6$$

在另一個方程式 5x+3y=2 中以 7y+6 代入 x在方程式。

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

5 乘上 7y+6。

$$35y+30+3y=2$$

將 35y 加到 3y。

$$38y+30=2$$

從方程式兩邊減去 30。

$$38y=-28$$

將兩邊同時除以 38。

$$y=-\frac{14}{19}$$

在 x=7y+6 中以 -\frac{14}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

7 乘上 -\frac{14}{19}。

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

將 6 加到 -\frac{98}{19}。

$$x=\frac{16}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

化簡。

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-35y=30 減去 5x+3y=2。

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-35y-3y=30-2$$

將 -35y 加到 -3y。

$$-38y=30-2$$

將 30 加到 -2。

$$-38y=28$$

將兩邊同時除以 -38。

$$y=-\frac{14}{19}$$

在 5x+3y=2 中以 -\frac{14}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

3 乘上 -\frac{14}{19}。

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

將 \frac{42}{19} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{80}{19}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{16}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$