解決{l}{x-4y=1}{2x+y=16} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{65}{9} = 7\frac{2}{9} \approx 7.222222222$$

$$y = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9} \approx 1.555555556$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-4y=1,2x+y=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-4y=1$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$x=4y+1$$

在另一個方程式 2x+y=16 中以 4y+1 代入 x在方程式。

$$2\left(4y+1\right)+y=16$$

2 乘上 4y+1。

$$8y+2+y=16$$

將 8y 加到 y。

$$9y+2=16$$

從方程式兩邊減去 2。

$$9y=14$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=\frac{14}{9}$$

在 x=4y+1 中以 \frac{14}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=4\times \frac{14}{9}+1$$

4 乘上 \frac{14}{9}。

$$x=\frac{56}{9}+1$$

將 1 加到 \frac{56}{9}。

$$x=\frac{65}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-4y=1,2x+y=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{9}\\\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-4y=1,2x+y=16$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2\left(-4\right)y=2,2x+y=16$$

化簡。

$$2x-8y=2,2x+y=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-8y=2 減去 2x+y=16。

$$2x-2x-8y-y=2-16$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y-y=2-16$$

將 -8y 加到 -y。

$$-9y=2-16$$

將 2 加到 -16。

$$-9y=-14$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=\frac{14}{9}$$

在 2x+y=16 中以 \frac{14}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+\frac{14}{9}=16$$

從方程式兩邊減去 \frac{14}{9}。

$$2x=\frac{130}{9}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{65}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$