解決{l}{x-3y=4}{5x+3y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-3y=4$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$x=3y+4$$

在另一個方程式 5x+3y=-1 中以 3y+4 代入 x在方程式。

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

5 乘上 3y+4。

$$15y+20+3y=-1$$

將 15y 加到 3y。

$$18y+20=-1$$

從方程式兩邊減去 20。

$$18y=-21$$

將兩邊同時除以 18。

$$y=-\frac{7}{6}$$

在 x=3y+4 中以 -\frac{7}{6} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

3 乘上 -\frac{7}{6}。

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

將 4 加到 -\frac{7}{2}。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

化簡。

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-15y=20 減去 5x+3y=-1。

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y-3y=20+1$$

將 -15y 加到 -3y。

$$-18y=20+1$$

將 20 加到 1。

$$-18y=21$$

將兩邊同時除以 -18。

$$y=-\frac{7}{6}$$

在 5x+3y=-1 中以 -\frac{7}{6} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

3 乘上 -\frac{7}{6}。

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

將 \frac{7}{2} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{5}{2}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$