解決{l}{x-3=y}{x/4-1=y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

新增 1 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$\frac{x}{4}-y=1$$

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$x-4y=4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=3,x-4y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+3$$

在另一個方程式 x-4y=4 中以 y+3 代入 x在方程式。

$$y+3-4y=4$$

將 y 加到 -4y。

$$-3y+3=4$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-3y=1$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-\frac{1}{3}$$

在 x=y+3 中以 -\frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

將 3 加到 -\frac{1}{3}。

$$x=\frac{8}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

新增 1 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$\frac{x}{4}-y=1$$

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$x-4y=4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=3,x-4y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

新增 1 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$\frac{x}{4}-y=1$$

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$x-4y=4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=3,x-4y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=3 減去 x-4y=4。

$$x-x-y+4y=3-4$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y+4y=3-4$$

將 -y 加到 4y。

$$3y=3-4$$

將 3 加到 -4。

$$3y=-1$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-\frac{1}{3}$$

在 x-4y=4 中以 -\frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

-4 乘上 -\frac{1}{3}。

$$x+\frac{4}{3}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{3}。

$$x=\frac{8}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$