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解 x、y
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x-2y=7,2x-y=2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x-2y=7
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=2y+7
將 2y 加到方程式的兩邊。
2\left(2y+7\right)-y=2
在另一個方程式 2x-y=2 中以 2y+7 代入 x在方程式。
4y+14-y=2
2 乘上 2y+7。
3y+14=2
將 4y 加到 -y。
3y=-12
從方程式兩邊減去 14。
y=-4
將兩邊同時除以 3。
x=2\left(-4\right)+7
在 x=2y+7 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-8+7
2 乘上 -4。
x=-1
將 7 加到 -8。
x=-1,y=-4
現已成功解出系統。
x-2y=7,2x-y=2
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=-4
解出矩陣元素 x 和 y。
x-2y=7,2x-y=2
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2x+2\left(-2\right)y=2\times 7,2x-y=2
讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
2x-4y=14,2x-y=2
化簡。
2x-2x-4y+y=14-2
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 2x-4y=14 減去 2x-y=2。
-4y+y=14-2
將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-3y=14-2
將 -4y 加到 y。
-3y=12
將 14 加到 -2。
y=-4
將兩邊同時除以 -3。
2x-\left(-4\right)=2
在 2x-y=2 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
2x=-2
從方程式兩邊減去 4。
x=-1
將兩邊同時除以 2。
x=-1,y=-4
現已成功解出系統。