解決{l}{x-2y=-6}{6x+3y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{14}{15}\approx -0.933333333$$

$$y = \frac{38}{15} = 2\frac{8}{15} \approx 2.533333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-2y=-6$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$x=2y-6$$

在另一個方程式 6x+3y=2 中以 -6+2y 代入 x在方程式。

$$6\left(2y-6\right)+3y=2$$

6 乘上 -6+2y。

$$12y-36+3y=2$$

將 12y 加到 3y。

$$15y-36=2$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$15y=38$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=\frac{38}{15}$$

在 x=2y-6 中以 \frac{38}{15} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\times \frac{38}{15}-6$$

2 乘上 \frac{38}{15}。

$$x=\frac{76}{15}-6$$

將 -6 加到 \frac{76}{15}。

$$x=-\frac{14}{15}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{15}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{15}\\\frac{38}{15}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

讓 x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+3y=2$$

化簡。

$$6x-12y=-36,6x+3y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-12y=-36 減去 6x+3y=2。

$$6x-6x-12y-3y=-36-2$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-3y=-36-2$$

將 -12y 加到 -3y。

$$-15y=-36-2$$

將 -36 加到 -2。

$$-15y=-38$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=\frac{38}{15}$$

在 6x+3y=2 中以 \frac{38}{15} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+3\times \frac{38}{15}=2$$

3 乘上 \frac{38}{15}。

$$6x+\frac{38}{5}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{38}{5}。

$$6x=-\frac{28}{5}$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-\frac{14}{15}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$