解決{l}{x-2(3y-1)=-4}{2/3y-(-x-7)=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 ( 3 y - 1 ) = - 4 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y - ( - x - 7 ) = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-6$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

-2 乘上 3y-1。

$$x-6y+2=-4$$

從方程式兩邊減去 2。

$$x-6y=-6$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$x=6y-6$$

在另一個方程式 -\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1 中以 -6+6y 代入 x在方程式。

$$-\left(-\left(6y-6\right)-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

-1 乘上 -6+6y。

$$-\left(-6y+6-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

將 6 加到 -7。

$$-\left(-6y-1\right)+\frac{2}{3}y=1$$

-1 乘上 -6y-1。

$$6y+1+\frac{2}{3}y=1$$

將 6y 加到 \frac{2y}{3}。

$$\frac{20}{3}y+1=1$$

從方程式兩邊減去 1。

$$\frac{20}{3}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{20}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=6y-6 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

化簡第一個方程式，使其成為標準式。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

-2 乘上 3y-1。

$$x-6y+2=-4$$

從方程式兩邊減去 2。

$$x-6y=-6$$

化簡第二個方程式，使其成為標準式。

$$-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

-1 乘上 -x-7。

$$x+7+\frac{2}{3}y=1$$

從方程式兩邊減去 7。

$$x+\frac{2}{3}y=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\\-\frac{3}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{9}{10}\left(-6\right)\\-\frac{3}{20}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-6,y=0$$