解決{l}{x-2=y}{2x+4=y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 = y } \\ { 2 x + 4 = y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-6$$

$$y=-8$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-2-y=0$$

新增 2 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$2x+4-y=0$$

從兩邊減去 4。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2x-y=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=2,2x-y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+2$$

在另一個方程式 2x-y=-4 中以 y+2 代入 x在方程式。

$$2\left(y+2\right)-y=-4$$

2 乘上 y+2。

$$2y+4-y=-4$$

將 2y 加到 -y。

$$y+4=-4$$

從方程式兩邊減去 4。

$$y=-8$$

在 x=y+2 中以 -8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-8+2$$

將 2 加到 -8。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=-8$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-2-y=0$$

新增 2 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$2x+4-y=0$$

從兩邊減去 4。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2x-y=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=2,2x-y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-4\\-2\times 2-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-6,y=-8$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-2-y=0$$

新增 2 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$2x+4-y=0$$

從兩邊減去 4。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2x-y=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=2,2x-y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=2 減去 2x-y=-4。

$$x-2x-y+y=2+4$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x-2x=2+4$$

將 x 加到 -2x。

$$-x=2+4$$

將 2 加到 4。

$$-x=6$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-6$$

在 2x-y=-4 中以 -6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2\left(-6\right)-y=-4$$

2 乘上 -6。

$$-12-y=-4$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$-y=8$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-8$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=-8$$