解決{l}{x-1=-3/2(y+2)}{x+y-2=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 1 = - \frac { 3 } { 2 } ( y + 2 ) } \\ { x + y - 2 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=-8$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -\frac{3}{2} 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

新增 \frac{3}{2}y 至兩側。

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

新增 1 至兩側。

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

將 -3 與 1 相加可以得到 -2。

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

考慮第二個方程式。 新增 2 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x+y=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

從方程式兩邊減去 \frac{3y}{2}。

$$x=-\frac{3}{2}y-2$$

在另一個方程式 x+y=2 中以 -\frac{3y}{2}-2 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{2}y-2+y=2$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 y。

$$-\frac{1}{2}y-2=2$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{1}{2}y=4$$

將兩邊同時乘上 -2。

$$y=-8$$

在 x=-\frac{3}{2}y-2 中以 -8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)-2$$

-\frac{3}{2} 乘上 -8。

$$x=12-2$$

將 -2 加到 12。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-8$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -\frac{3}{2} 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

新增 \frac{3}{2}y 至兩側。

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

新增 1 至兩側。

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

將 -3 與 1 相加可以得到 -2。

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

考慮第二個方程式。 新增 2 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x+y=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{1-\frac{3}{2}}&\frac{1}{1-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+3\times 2\\2\left(-2\right)-2\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=-8$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -\frac{3}{2} 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

新增 \frac{3}{2}y 至兩側。

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

新增 1 至兩側。

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

將 -3 與 1 相加可以得到 -2。

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

考慮第二個方程式。 新增 2 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x+y=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+\frac{3}{2}y=-2 減去 x+y=2。

$$x-x+\frac{3}{2}y-y=-2-2$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\frac{3}{2}y-y=-2-2$$

將 \frac{3y}{2} 加到 -y。

$$\frac{1}{2}y=-2-2$$

將 -2 加到 -2。

$$\frac{1}{2}y=-4$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=-8$$

在 x+y=2 中以 -8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-8=2$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-8$$