\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.
解 x、y
x=1
y=-3
圖表
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2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。
2x-y-3=6x+2y+2
若要尋找 y+3 的相反數，請尋找每項的相反數。
2x-y-3-6x=2y+2
從兩邊減去 6x。
-4x-y-3=2y+2
合併 2x 和 -6x 以取得 -4x。
-4x-y-3-2y=2
從兩邊減去 2y。
-4x-3y-3=2
合併 -y 和 -2y 以取得 -3y。
-4x-3y=2+3
新增 3 至兩側。
-4x-3y=5
將 2 與 3 相加可以得到 5。
5x+y=4x-2
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。
5x+y-4x=-2
從兩邊減去 4x。
x+y=-2
合併 5x 和 -4x 以取得 x。
-4x-3y=5,x+y=-2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
-4x-3y=5
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
-4x=3y+5
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)
將兩邊同時除以 -4。
x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}
-\frac{1}{4} 乘上 3y+5。
-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2
在另一個方程式 x+y=-2 中以 \frac{-3y-5}{4} 代入 x在方程式。
\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2
將 -\frac{3y}{4} 加到 y。
\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}
將 \frac{5}{4} 加到方程式的兩邊。
y=-3
將兩邊同時乘上 4。
x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}
在 x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{9-5}{4}
-\frac{3}{4} 乘上 -3。
x=1
將 -\frac{5}{4} 與 \frac{9}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=-3
現已成功解出系統。
2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。
2x-y-3=6x+2y+2
若要尋找 y+3 的相反數，請尋找每項的相反數。
2x-y-3-6x=2y+2
從兩邊減去 6x。
-4x-y-3=2y+2
合併 2x 和 -6x 以取得 -4x。
-4x-y-3-2y=2
從兩邊減去 2y。
-4x-3y-3=2
合併 -y 和 -2y 以取得 -3y。
-4x-3y=2+3
新增 3 至兩側。
-4x-3y=5
將 2 與 3 相加可以得到 5。
5x+y=4x-2
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。
5x+y-4x=-2
從兩邊減去 4x。
x+y=-2
合併 5x 和 -4x 以取得 x。
-4x-3y=5,x+y=-2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=-3
解出矩陣元素 x 和 y。
2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。
2x-y-3=6x+2y+2
若要尋找 y+3 的相反數，請尋找每項的相反數。
2x-y-3-6x=2y+2
從兩邊減去 6x。
-4x-y-3=2y+2
合併 2x 和 -6x 以取得 -4x。
-4x-y-3-2y=2
從兩邊減去 2y。
-4x-3y-3=2
合併 -y 和 -2y 以取得 -3y。
-4x-3y=2+3
新增 3 至兩側。
-4x-3y=5
將 2 與 3 相加可以得到 5。
5x+y=4x-2
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。
5x+y-4x=-2
從兩邊減去 4x。
x+y=-2
合併 5x 和 -4x 以取得 x。
-4x-3y=5,x+y=-2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)
讓 -4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。
-4x-3y=5,-4x-4y=8
化簡。
-4x+4x-3y+4y=5-8
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-3y=5 減去 -4x-4y=8。
-3y+4y=5-8
將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
y=5-8
將 -3y 加到 4y。
y=-3
將 5 加到 -8。
x-3=-2
在 x+y=-2 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=1
將 3 加到方程式的兩邊。
x=1,y=-3
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}