解決{l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x 乘上 1-2x 時使用乘法分配律。

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

計算 y 乘上 1-y 時使用乘法分配律。

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

若要尋找 y-y^{2} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

請考慮 \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

展開 \left(\sqrt{2}x\right)^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

從兩邊減去 y^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

合併 y^{2} 和 -y^{2} 以取得 0。

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

新增 2x^{2} 至兩側。

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

合併 -2x^{2} 和 2x^{2} 以取得 0。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 16。

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

若要尋找 4y^{2}-y+\frac{1}{16} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

計算 16 乘上 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} 時使用乘法分配律。

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 16 乘上 16 得到 256。

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 -1 與 256 相加可以得到 255。

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 255 與 1 相加可以得到 256。

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

計算 16 乘上 2y+3 時使用乘法分配律。

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

計算 32y+48 乘上 3-2y 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

新增 64y^{2} 至兩側。

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

合併 -64y^{2} 和 64y^{2} 以取得 0。

$$32x+16y+256=144$$

從兩邊減去 256。

$$32x+16y=144-256$$

從 144 減去 256 會得到 -112。

$$32x+16y=-112$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+3$$

在另一個方程式 32x+16y=-112 中以 y+3 代入 x在方程式。

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

32 乘上 y+3。

$$32y+96+16y=-112$$

將 32y 加到 16y。

$$48y+96=-112$$

從方程式兩邊減去 96。

$$48y=-208$$

將兩邊同時除以 48。

$$y=-\frac{13}{3}$$

在 x=y+3 中以 -\frac{13}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

將 3 加到 -\frac{13}{3}。

$$x=-\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x 乘上 1-2x 時使用乘法分配律。

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

計算 y 乘上 1-y 時使用乘法分配律。

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

若要尋找 y-y^{2} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

請考慮 \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

展開 \left(\sqrt{2}x\right)^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

從兩邊減去 y^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

合併 y^{2} 和 -y^{2} 以取得 0。

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

新增 2x^{2} 至兩側。

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

合併 -2x^{2} 和 2x^{2} 以取得 0。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 16。

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

若要尋找 4y^{2}-y+\frac{1}{16} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

計算 16 乘上 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} 時使用乘法分配律。

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 16 乘上 16 得到 256。

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 -1 與 256 相加可以得到 255。

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 255 與 1 相加可以得到 256。

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

計算 16 乘上 2y+3 時使用乘法分配律。

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

計算 32y+48 乘上 3-2y 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

新增 64y^{2} 至兩側。

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

合併 -64y^{2} 和 64y^{2} 以取得 0。

$$32x+16y+256=144$$

從兩邊減去 256。

$$32x+16y=144-256$$

從 144 減去 256 會得到 -112。

$$32x+16y=-112$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x 乘上 1-2x 時使用乘法分配律。

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

計算 y 乘上 1-y 時使用乘法分配律。

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

若要尋找 y-y^{2} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

請考慮 \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

展開 \left(\sqrt{2}x\right)^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

從兩邊減去 y^{2}。

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

合併 y^{2} 和 -y^{2} 以取得 0。

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

新增 2x^{2} 至兩側。

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

合併 -2x^{2} 和 2x^{2} 以取得 0。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 16。

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

若要尋找 4y^{2}-y+\frac{1}{16} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

計算 16 乘上 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} 時使用乘法分配律。

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 16 乘上 16 得到 256。

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 -1 與 256 相加可以得到 255。

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

將 255 與 1 相加可以得到 256。

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

計算 16 乘上 2y+3 時使用乘法分配律。

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

計算 32y+48 乘上 3-2y 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

新增 64y^{2} 至兩側。

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

合併 -64y^{2} 和 64y^{2} 以取得 0。

$$32x+16y+256=144$$

從兩邊減去 256。

$$32x+16y=144-256$$

從 144 減去 256 會得到 -112。

$$32x+16y=-112$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

讓 x 和 32x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 32，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

化簡。

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32x-32y=96 減去 32x+16y=-112。

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

將 32x 加到 -32x。 32x 和 -32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-32y-16y=96+112$$

將 -32y 加到 -16y。

$$-48y=96+112$$

將 96 加到 112。

$$-48y=208$$

將兩邊同時除以 -48。

$$y=-\frac{13}{3}$$

在 32x+16y=-112 中以 -\frac{13}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

16 乘上 -\frac{13}{3}。

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

將 \frac{208}{3} 加到方程式的兩邊。

$$32x=-\frac{128}{3}$$

將兩邊同時除以 32。

$$x=-\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$