解決{l}{xsqrt{2}-ysqrt{5}=2sqrt{10}}{xsqrt{5}+ysqrt{2}=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x \sqrt { 2 } - y \sqrt { 5 } = 2 \sqrt { 10 } } \\ { x \sqrt { 5 } + y \sqrt { 2 } = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

$$y=-\sqrt{2}\approx -1.414213562$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 重新排列各項。

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10}$$

將 \sqrt{5}y 加到方程式的兩邊。

$$\sqrt{2}x=\sqrt{5}y+2\sqrt{10}$$

將兩邊同時除以 \sqrt{2}。

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{5}y+2\sqrt{10}\right)$$

\frac{\sqrt{2}}{2} 乘上 \sqrt{5}y+2\sqrt{10}。

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}$$

在另一個方程式 \sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3 中以 \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5} 代入 x在方程式。

$$\sqrt{5}\left(\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}y=3$$

\sqrt{5} 乘上 \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5}。

$$\frac{5\sqrt{2}}{2}y+10+\sqrt{2}y=3$$

將 \frac{5\sqrt{2}y}{2} 加到 \sqrt{2}y。

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y+10=3$$

從方程式兩邊減去 10。

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y=-7$$

將兩邊同時除以 \frac{7\sqrt{2}}{2}。

$$y=-\sqrt{2}$$

在 x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5} 中以 -\sqrt{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}\left(-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{5}$$

\frac{\sqrt{10}}{2} 乘上 -\sqrt{2}。

$$x=-\sqrt{5}+2\sqrt{5}$$

將 2\sqrt{5} 加到 -\sqrt{5}。

$$x=\sqrt{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 重新排列各項。

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

讓 \sqrt{2}x 和 \sqrt{5}x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \sqrt{5}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \sqrt{2}。

$$\sqrt{5}\sqrt{2}x+\sqrt{5}\left(-\sqrt{5}\right)y=\sqrt{5}\times 2\sqrt{10},\sqrt{2}\sqrt{5}x+\sqrt{2}\sqrt{2}y=\sqrt{2}\times 3$$

化簡。

$$\sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2},\sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2} 減去 \sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2}。

$$\sqrt{10}x+\left(-\sqrt{10}\right)x-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

將 \sqrt{10}x 加到 -\sqrt{10}x。 \sqrt{10}x 和 -\sqrt{10}x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

將 -5y 加到 -2y。

$$-7y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

將 10\sqrt{2} 加到 -3\sqrt{2}。

$$-7y=7\sqrt{2}$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=-\sqrt{2}$$

在 \sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3 中以 -\sqrt{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$\sqrt{5}x+\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)=3$$

\sqrt{2} 乘上 -\sqrt{2}。

$$\sqrt{5}x-2=3$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$\sqrt{5}x=5$$

將兩邊同時除以 \sqrt{5}。

$$x=\sqrt{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$