\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.
解 x、y (復數求解)
x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
解 x、y
x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}
圖表
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x+y=a
對 x+y=a 解出 x，方法為將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+a
從方程式兩邊減去 y。
y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9
在另一個方程式 y^{2}+x^{2}=9 中以 -y+a 代入 x在方程式。
y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9
對 -y+a 平方。
2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9
將 y^{2} 加到 y^{2}。
2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0
從方程式兩邊減去 9。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1+1\left(-1\right)^{2} 代入 a，將 1\left(-1\right)\times 2a 代入 b，以及將 -9+a^{2} 代入 c。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}
對 1\left(-1\right)\times 2a 平方。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}
-4 乘上 1+1\left(-1\right)^{2}。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}
-8 乘上 -9+a^{2}。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}
將 4a^{2} 加到 72-8a^{2}。
y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}
取 72-4a^{2} 的平方根。
y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}
2 乘上 1+1\left(-1\right)^{2}。
y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}
現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}。 將 2a 加到 2\sqrt{18-a^{2}}。
y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
2a+2\sqrt{18-a^{2}} 除以 4。
y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}
現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}。 從 2a 減去 2\sqrt{18-a^{2}}。
y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
2a-2\sqrt{18-a^{2}} 除以 4。
x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a
y 有兩種答案: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} 和 \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}。在方程式 x=-y+a 中以 \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} 代入 y 以解出滿足這兩個方程式的 x 結果。
x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a
現在在方程式 x=-y+a 中以 \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} 代入 y 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 x 解。
x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
現已成功解出系統。
x+y=a,y^{2}+x^{2}=9
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+y=a
對 x+y=a 解出 x，方法為將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+a
從方程式兩邊減去 y。
y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9
在另一個方程式 y^{2}+x^{2}=9 中以 -y+a 代入 x在方程式。
y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9
對 -y+a 平方。
2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9
將 y^{2} 加到 y^{2}。
2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0
從方程式兩邊減去 9。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1+1\left(-1\right)^{2} 代入 a，將 1\left(-1\right)\times 2a 代入 b，以及將 -9+a^{2} 代入 c。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}
對 1\left(-1\right)\times 2a 平方。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}
-4 乘上 1+1\left(-1\right)^{2}。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}
-8 乘上 -9+a^{2}。
y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}
將 4a^{2} 加到 72-8a^{2}。
y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}
取 72-4a^{2} 的平方根。
y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}
2 乘上 1+1\left(-1\right)^{2}。
y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}
現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}。 將 2a 加到 2\sqrt{18-a^{2}}。
y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
2a+2\sqrt{18-a^{2}} 除以 4。
y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}
現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}。 從 2a 減去 2\sqrt{18-a^{2}}。
y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
2a-2\sqrt{18-a^{2}} 除以 4。
x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a
y 有兩種答案: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} 和 \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}。在方程式 x=-y+a 中以 \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} 代入 y 以解出滿足這兩個方程式的 x 結果。
x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a
現在在方程式 x=-y+a 中以 \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} 代入 y 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 x 解。
x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}