解決{l}{x=y+3}{7x-5y=19} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = y + 3 } \\ { 7 x - 5 y = 19 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=3,7x-5y=19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+3$$

在另一個方程式 7x-5y=19 中以 y+3 代入 x在方程式。

$$7\left(y+3\right)-5y=19$$

7 乘上 y+3。

$$7y+21-5y=19$$

將 7y 加到 -5y。

$$2y+21=19$$

從方程式兩邊減去 21。

$$2y=-2$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-1$$

在 x=y+3 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-1+3$$

將 3 加到 -1。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=3,7x-5y=19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{-5-\left(-7\right)}&\frac{1}{-5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{7}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\\-\frac{7}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=3,7x-5y=19$$

讓 x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 3,7x-5y=19$$

化簡。

$$7x-7y=21,7x-5y=19$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x-7y=21 減去 7x-5y=19。

$$7x-7x-7y+5y=21-19$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-7y+5y=21-19$$

將 -7y 加到 5y。

$$-2y=21-19$$

將 21 加到 -19。

$$-2y=2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-1$$

在 7x-5y=19 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-5\left(-1\right)=19$$

-5 乘上 -1。

$$7x+5=19$$

從方程式兩邊減去 5。

$$7x=14$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-1$$