解決{l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=8$$

$$y=-12$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 \frac{1}{4}y 至兩側。

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{y}{4}。

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

在另一個方程式 3x+2y=0 中以 -\frac{y}{4}+5 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

3 乘上 -\frac{y}{4}+5。

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 2y。

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

從方程式兩邊減去 15。

$$\frac{5}{4}y=-15$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-12$$

在 x=-\frac{1}{4}y+5 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

-\frac{1}{4} 乘上 -12。

$$x=3+5$$

將 5 加到 3。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=-12$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 \frac{1}{4}y 至兩側。

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=8,y=-12$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 \frac{1}{4}y 至兩側。

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

化簡。

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+\frac{3}{4}y=15 減去 3x+2y=0。

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

將 \frac{3y}{4} 加到 -2y。

$$-\frac{5}{4}y=15$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-12$$

在 3x+2y=0 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

2 乘上 -12。

$$3x-24=0$$

將 24 加到方程式的兩邊。

$$3x=24$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=-12$$