解決{l}{x=3/4y}{y=8/9x-4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{4}y。

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{8}{9}x。

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

將 \frac{3y}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3}{4}y$$

在另一個方程式 -\frac{8}{9}x+y=-4 中以 \frac{3y}{4} 代入 x在方程式。

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

-\frac{8}{9} 乘上 \frac{3y}{4}。

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

將 -\frac{2y}{3} 加到 y。

$$\frac{1}{3}y=-4$$

將兩邊同時乘上 3。

$$y=-12$$

在 x=\frac{3}{4}y 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

\frac{3}{4} 乘上 -12。

$$x=-9$$

現已成功解出系統。

$$x=-9,y=-12$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{4}y。

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{8}{9}x。

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-9,y=-12$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{4}y。

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{8}{9}x。

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

讓 x 和 -\frac{8x}{9} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -\frac{8}{9}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

化簡。

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 減去 -\frac{8}{9}x+y=-4。

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

將 -\frac{8x}{9} 加到 \frac{8x}{9}。 -\frac{8x}{9} 和 \frac{8x}{9} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

將 \frac{2y}{3} 加到 -y。

$$-\frac{1}{3}y=4$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=-12$$

在 -\frac{8}{9}x+y=-4 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{8}{9}x=8$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{8}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-9$$

現已成功解出系統。

$$x=-9,y=-12$$