解決{l}{x+y=6}{3x-y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 3 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=6,3x-y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=6$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+6$$

在另一個方程式 3x-y=-2 中以 -y+6 代入 x在方程式。

$$3\left(-y+6\right)-y=-2$$

3 乘上 -y+6。

$$-3y+18-y=-2$$

將 -3y 加到 -y。

$$-4y+18=-2$$

從方程式兩邊減去 18。

$$-4y=-20$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=5$$

在 x=-y+6 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5+6$$

將 6 加到 -5。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=6,3x-y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=6,3x-y=-2$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3y=3\times 6,3x-y=-2$$

化簡。

$$3x+3y=18,3x-y=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+3y=18 減去 3x-y=-2。

$$3x-3x+3y+y=18+2$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y+y=18+2$$

將 3y 加到 y。

$$4y=18+2$$

將 18 加到 2。

$$4y=20$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=5$$

在 3x-y=-2 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-5=-2$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=5$$