解決{l}{x+y=45}{18x+120y=6000} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=45$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+45$$

在另一個方程式 18x+120y=6000 中以 -y+45 代入 x在方程式。

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

18 乘上 -y+45。

$$-18y+810+120y=6000$$

將 -18y 加到 120y。

$$102y+810=6000$$

從方程式兩邊減去 810。

$$102y=5190$$

將兩邊同時除以 102。

$$y=\frac{865}{17}$$

在 x=-y+45 中以 \frac{865}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

將 45 加到 -\frac{865}{17}。

$$x=-\frac{100}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

讓 x 和 18x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 18，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

化簡。

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+18y=810 減去 18x+120y=6000。

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y-120y=810-6000$$

將 18y 加到 -120y。

$$-102y=810-6000$$

將 810 加到 -6000。

$$-102y=-5190$$

將兩邊同時除以 -102。

$$y=\frac{865}{17}$$

在 18x+120y=6000 中以 \frac{865}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

120 乘上 \frac{865}{17}。

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

從方程式兩邊減去 \frac{103800}{17}。

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

將兩邊同時除以 18。

$$x=-\frac{100}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$