解決{l}{x+y=30}{20x+25y=640} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 640 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=22$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=30,20x+25y=640$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=30$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+30$$

在另一個方程式 20x+25y=640 中以 -y+30 代入 x在方程式。

$$20\left(-y+30\right)+25y=640$$

20 乘上 -y+30。

$$-20y+600+25y=640$$

將 -20y 加到 25y。

$$5y+600=640$$

從方程式兩邊減去 600。

$$5y=40$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=8$$

在 x=-y+30 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-8+30$$

將 30 加到 -8。

$$x=22$$

現已成功解出系統。

$$x=22,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=30,20x+25y=640$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 640\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 640\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=22,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=30,20x+25y=640$$

讓 x 和 20x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 20，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=640$$

化簡。

$$20x+20y=600,20x+25y=640$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x+20y=600 減去 20x+25y=640。

$$20x-20x+20y-25y=600-640$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-25y=600-640$$

將 20y 加到 -25y。

$$-5y=600-640$$

將 600 加到 -640。

$$-5y=-40$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=8$$

在 20x+25y=640 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$20x+25\times 8=640$$

25 乘上 8。

$$20x+200=640$$

從方程式兩邊減去 200。

$$20x=440$$

將兩邊同時除以 20。

$$x=22$$

現已成功解出系統。

$$x=22,y=8$$