解決{l}{x+y=30}{2x+25y=698} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 2 x + 25 y = 698 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{52}{23} = 2\frac{6}{23} \approx 2.260869565$$

$$y = \frac{638}{23} = 27\frac{17}{23} \approx 27.739130435$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=30,2x+25y=698$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=30$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+30$$

在另一個方程式 2x+25y=698 中以 -y+30 代入 x在方程式。

$$2\left(-y+30\right)+25y=698$$

2 乘上 -y+30。

$$-2y+60+25y=698$$

將 -2y 加到 25y。

$$23y+60=698$$

從方程式兩邊減去 60。

$$23y=638$$

將兩邊同時除以 23。

$$y=\frac{638}{23}$$

在 x=-y+30 中以 \frac{638}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{638}{23}+30$$

將 30 加到 -\frac{638}{23}。

$$x=\frac{52}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=30,2x+25y=698$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-2}&-\frac{1}{25-2}\\-\frac{2}{25-2}&\frac{1}{25-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}\times 30-\frac{1}{23}\times 698\\-\frac{2}{23}\times 30+\frac{1}{23}\times 698\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{23}\\\frac{638}{23}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=30,2x+25y=698$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2y=2\times 30,2x+25y=698$$

化簡。

$$2x+2y=60,2x+25y=698$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+2y=60 減去 2x+25y=698。

$$2x-2x+2y-25y=60-698$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-25y=60-698$$

將 2y 加到 -25y。

$$-23y=60-698$$

將 60 加到 -698。

$$-23y=-638$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=\frac{638}{23}$$

在 2x+25y=698 中以 \frac{638}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+25\times \frac{638}{23}=698$$

25 乘上 \frac{638}{23}。

$$2x+\frac{15950}{23}=698$$

從方程式兩邊減去 \frac{15950}{23}。

$$2x=\frac{104}{23}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{52}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$