解決{l}{x+y=27}{y=x-9} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { y = x - 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=18$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=27,-x+y=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=27$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+27$$

在另一個方程式 -x+y=-9 中以 -y+27 代入 x在方程式。

$$-\left(-y+27\right)+y=-9$$

-1 乘上 -y+27。

$$y-27+y=-9$$

將 y 加到 y。

$$2y-27=-9$$

將 27 加到方程式的兩邊。

$$2y=18$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=9$$

在 x=-y+27 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-9+27$$

將 27 加到 -9。

$$x=18$$

現已成功解出系統。

$$x=18,y=9$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=27,-x+y=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=18,y=9$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=27,-x+y=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=27 減去 -x+y=-9。

$$x+x+y-y=27+9$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x+x=27+9$$

將 x 加到 x。

$$2x=27+9$$

將 27 加到 9。

$$2x=36$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=18$$

在 -x+y=-9 中以 18 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-18+y=-9$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$y=9$$

現已成功解出系統。

$$x=18,y=9$$