解決{l}{x+y=240}{156-3x+168.3y+161*120=1668*360} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 156 - 3 x + 168.3 y + 161 \times 120 = 1668 \times 360 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{1802040}{571} = -3155\frac{535}{571} \approx -3155.936952715$$

$$y = \frac{1939080}{571} = 3395\frac{535}{571} \approx 3395.936952715$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=240$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+240$$

在另一個方程式 -3x+168.3y+19476=600480 中以 -y+240 代入 x在方程式。

$$-3\left(-y+240\right)+168.3y+19476=600480$$

-3 乘上 -y+240。

$$3y-720+168.3y+19476=600480$$

將 3y 加到 \frac{1683y}{10}。

$$171.3y-720+19476=600480$$

將 -720 加到 19476。

$$171.3y+18756=600480$$

從方程式兩邊減去 18756。

$$171.3y=581724$$

對方程式的兩邊同時除以 171.3，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{1939080}{571}$$

在 x=-y+240 中以 \frac{1939080}{571} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1939080}{571}+240$$

將 240 加到 -\frac{1939080}{571}。

$$x=-\frac{1802040}{571}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168.3}{168.3-\left(-3\right)}&-\frac{1}{168.3-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{168.3-\left(-3\right)}&\frac{1}{168.3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{571}&-\frac{10}{1713}\\\frac{10}{571}&\frac{10}{1713}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{571}\times 240-\frac{10}{1713}\times 581004\\\frac{10}{571}\times 240+\frac{10}{1713}\times 581004\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1802040}{571}\\\frac{1939080}{571}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

讓 x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-3x-3y=-3\times 240,-3x+168.3y+19476=600480$$

化簡。

$$-3x-3y=-720,-3x+168.3y+19476=600480$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x-3y=-720 減去 -3x+168.3y+19476=600480。

$$-3x+3x-3y-168.3y-19476=-720-600480$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-168.3y-19476=-720-600480$$

將 -3y 加到 -\frac{1683y}{10}。

$$-171.3y-19476=-720-600480$$

將 -720 加到 -600480。

$$-171.3y-19476=-601200$$

將 19476 加到方程式的兩邊。

$$-171.3y=-581724$$

對方程式的兩邊同時除以 -171.3，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{1939080}{571}$$

在 -3x+168.3y+19476=600480 中以 \frac{1939080}{571} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+168.3\times \frac{1939080}{571}+19476=600480$$

168.3 乘上 \frac{1939080}{571} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$-3x+\frac{326347164}{571}+19476=600480$$

將 \frac{326347164}{571} 加到 19476。

$$-3x+\frac{337467960}{571}=600480$$

從方程式兩邊減去 \frac{337467960}{571}。

$$-3x=\frac{5406120}{571}$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1802040}{571}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$