\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.
解 x、y
x=100
y=120
圖表
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\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{8}y。
x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+y=220
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+220
從方程式兩邊減去 y。
\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5
在另一個方程式 \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 中以 -y+220 代入 x在方程式。
-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5
\frac{2}{5} 乘上 -y+220。
-\frac{31}{40}y+88=-5
將 -\frac{2y}{5} 加到 -\frac{3y}{8}。
-\frac{31}{40}y=-93
從方程式兩邊減去 88。
y=120
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{31}{40}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-120+220
在 x=-y+220 中以 120 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=100
將 220 加到 -120。
x=100,y=120
現已成功解出系統。
\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{8}y。
x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)
計算。
x=100,y=120
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{8}y。
x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
讓 x 和 \frac{2x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{2}{5}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5
化簡。
\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 減去 \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5。
\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5
將 \frac{2x}{5} 加到 -\frac{2x}{5}。 \frac{2x}{5} 和 -\frac{2x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{31}{40}y=88+5
將 \frac{2y}{5} 加到 \frac{3y}{8}。
\frac{31}{40}y=93
將 88 加到 5。
y=120
對方程式的兩邊同時除以 \frac{31}{40}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5
在 \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 中以 120 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{2}{5}x-45=-5
-\frac{3}{8} 乘上 120。
\frac{2}{5}x=40
將 45 加到方程式的兩邊。
x=100
對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=100,y=120
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}