解決{l}{x+y=22}{10x+4y=178} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 22 } \\ { 10 x + 4 y = 178 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=15$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=22,10x+4y=178$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=22$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+22$$

在另一個方程式 10x+4y=178 中以 -y+22 代入 x在方程式。

$$10\left(-y+22\right)+4y=178$$

10 乘上 -y+22。

$$-10y+220+4y=178$$

將 -10y 加到 4y。

$$-6y+220=178$$

從方程式兩邊減去 220。

$$-6y=-42$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=7$$

在 x=-y+22 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7+22$$

將 22 加到 -7。

$$x=15$$

現已成功解出系統。

$$x=15,y=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=22,10x+4y=178$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-10}&-\frac{1}{4-10}\\-\frac{10}{4-10}&\frac{1}{4-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 22+\frac{1}{6}\times 178\\\frac{5}{3}\times 22-\frac{1}{6}\times 178\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=15,y=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=22,10x+4y=178$$

讓 x 和 10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$10x+10y=10\times 22,10x+4y=178$$

化簡。

$$10x+10y=220,10x+4y=178$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+10y=220 減去 10x+4y=178。

$$10x-10x+10y-4y=220-178$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-4y=220-178$$

將 10y 加到 -4y。

$$6y=220-178$$

將 220 加到 -178。

$$6y=42$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=7$$

在 10x+4y=178 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$10x+4\times 7=178$$

4 乘上 7。

$$10x+28=178$$

從方程式兩邊減去 28。

$$10x=150$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=15$$

現已成功解出系統。

$$x=15,y=7$$