\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.
解 x, y
x=96
y=108
圖表
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\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{4}x。
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+y=204
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+204
從方程式兩邊減去 y。
-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0
在另一個方程式 -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 中以 -y+204 代入 x在方程式。
\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0
-\frac{3}{4} 乘上 -y+204。
\frac{17}{12}y-153=0
將 \frac{3y}{4} 加到 \frac{2y}{3}。
\frac{17}{12}y=153
將 153 加到方程式的兩邊。
y=108
對方程式的兩邊同時除以 \frac{17}{12}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-108+204
在 x=-y+204 中以 108 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=96
將 204 加到 -108。
x=96,y=108
現已成功解出系統。
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{4}x。
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)
計算。
x=96,y=108
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{3}{4}x。
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
讓 x 和 -\frac{3x}{4} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -\frac{3}{4}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
化簡。
-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 減去 -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0。
-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
將 -\frac{3x}{4} 加到 \frac{3x}{4}。 -\frac{3x}{4} 和 \frac{3x}{4} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{17}{12}y=-153
將 -\frac{3y}{4} 加到 -\frac{2y}{3}。
y=108
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{17}{12}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0
在 -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 中以 108 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-\frac{3}{4}x+72=0
\frac{2}{3} 乘上 108。
-\frac{3}{4}x=-72
從方程式兩邊減去 72。
x=96
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=96,y=108
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}