解決{l}{x+y=17}{2x-y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

$$y = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=17,2x-y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=17$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+17$$

在另一個方程式 2x-y=11 中以 -y+17 代入 x在方程式。

$$2\left(-y+17\right)-y=11$$

2 乘上 -y+17。

$$-2y+34-y=11$$

將 -2y 加到 -y。

$$-3y+34=11$$

從方程式兩邊減去 34。

$$-3y=-23$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=\frac{23}{3}$$

在 x=-y+17 中以 \frac{23}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{23}{3}+17$$

將 17 加到 -\frac{23}{3}。

$$x=\frac{28}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=17,2x-y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{3}\times 17-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{3}\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=17,2x-y=11$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2y=2\times 17,2x-y=11$$

化簡。

$$2x+2y=34,2x-y=11$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+2y=34 減去 2x-y=11。

$$2x-2x+2y+y=34-11$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+y=34-11$$

將 2y 加到 y。

$$3y=34-11$$

將 34 加到 -11。

$$3y=23$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{23}{3}$$

在 2x-y=11 中以 \frac{23}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-\frac{23}{3}=11$$

將 \frac{23}{3} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{56}{3}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{28}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$