解決{l}{x+y=15}{250x+80y=2900} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=15$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+15$$

在另一個方程式 250x+80y=2900 中以 -y+15 代入 x在方程式。

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

250 乘上 -y+15。

$$-250y+3750+80y=2900$$

將 -250y 加到 80y。

$$-170y+3750=2900$$

從方程式兩邊減去 3750。

$$-170y=-850$$

將兩邊同時除以 -170。

$$y=5$$

在 x=-y+15 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5+15$$

將 15 加到 -5。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

讓 x 和 250x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 250，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

化簡。

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 250x+250y=3750 減去 250x+80y=2900。

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

將 250x 加到 -250x。 250x 和 -250x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$250y-80y=3750-2900$$

將 250y 加到 -80y。

$$170y=3750-2900$$

將 3750 加到 -2900。

$$170y=850$$

將兩邊同時除以 170。

$$y=5$$

在 250x+80y=2900 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$250x+80\times 5=2900$$

80 乘上 5。

$$250x+400=2900$$

從方程式兩邊減去 400。

$$250x=2500$$

將兩邊同時除以 250。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=5$$