解決{l}{x+y=11}{2x-3y=-8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 11 } \\ { 2 x - 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=5$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=11$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+11$$

在另一個方程式 2x-3y=-8 中以 -y+11 代入 x在方程式。

$$2\left(-y+11\right)-3y=-8$$

2 乘上 -y+11。

$$-2y+22-3y=-8$$

將 -2y 加到 -3y。

$$-5y+22=-8$$

從方程式兩邊減去 22。

$$-5y=-30$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=6$$

在 x=-y+11 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6+11$$

將 11 加到 -6。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 11+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{2}{5}\times 11-\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2y=2\times 11,2x-3y=-8$$

化簡。

$$2x+2y=22,2x-3y=-8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+2y=22 減去 2x-3y=-8。

$$2x-2x+2y+3y=22+8$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+3y=22+8$$

將 2y 加到 3y。

$$5y=22+8$$

將 22 加到 8。

$$5y=30$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=6$$

在 2x-3y=-8 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-3\times 6=-8$$

-3 乘上 6。

$$2x-18=-8$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$2x=10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=6$$